超立方体上的量子行走：理论与分析
1. 傅里叶变换
傅里叶变换作用于计算基的方式如下：
[
|\vec{E}k\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum{\vec{E}v = 0}^{2^n - 1} (-1)^{\vec{E}_k \cdot \vec{E}_v} |\vec{E}_v\rangle
]
其中，(\vec{E}_k \cdot \vec{E}_v) 是二进制向量 (\vec{E}_k) 和 (\vec{E}_v) 的内积，变量 (\vec{E}_k) 和 (\vec{E}_v) 的取值范围相同。傅里叶变换定义了一个新的正交归一基 ({|\vec{E}_k\rangle : 0 \leq \vec{E}_k \leq 2^n - 1})，称为傅里叶基。在这个新基下，行走者的一般状态为：
[
|\Psi(t)\rangle = \sum{a = 1}^{n} \sum_{\vec{E}k = 0}^{2^n - 1} \tilde{Q}{a,\vec{E}k}(t) |a\rangle |\vec{E}_k\rangle
]
其中，系数 (\tilde{Q}{a,\vec{E}k}(t)) 由下式给出：
[
\tilde{Q}{a,\vec{E}k} = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum{\vec{E}v = 0}^{2^n - 1} (-1)^{\vec{E}_k \cdot \vec{E}_v
