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怎么制作网页视频,四川旅游seo整站优化,怎么做网站咨询,网站空间怎样设置用户名和密码题目描述 你有一个朋友 Po\texttt{Po}Po #xff0c;他有一个神奇的精灵。精灵每天会告诉 Po\texttt{Po}Po 一个整数 GGG 。如果 GGG 为正数#xff0c;那么 Po\texttt{Po}Po 的土地面积会乘以 GGG #xff1b;如果 GGG 为负数#xff0c;那么 Po\texttt{Po}Po 的土地面积会…题目描述你有一个朋友Po\texttt{Po}Po他有一个神奇的精灵。精灵每天会告诉Po\texttt{Po}Po一个整数GGG。如果GGG为正数那么Po\texttt{Po}Po的土地面积会乘以GGG如果GGG为负数那么Po\texttt{Po}Po的土地面积会除以∣G∣|G|∣G∣保证能整除。初始土地面积为111。每天你需要计算出当前土地面积对应的“不同矩形”的数量即面积的正整数因子个数因为矩形边长必须是正整数且a×ba \times ba×b与b×ab \times ab×a视为不同除非aba bab。在DDD天结束后输出每天因子个数的总和并对109710^971097取模。输入格式第一行是测试用例数TTTT≤10T \le 10T≤10。每个测试用例第一行是天数DDD1≤D≤1061 \le D \le 10^61≤D≤106。接下来DDD行每行一个整数GGG0∣G∣≤1060 |G| \le 10^60∣G∣≤106。输出格式对于每个测试用例输出一行Case X: sum其中XXX是测试用例编号sumsumsum是DDD天因子个数总和对109710^971097取模的结果。题目分析问题转化每天我们需要计算当前面积AAA的正整数因子个数。设AAA的质因数分解为Ap1e1p2e2…pkek A p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}Ap1e1​​p2e2​​…pkek​​则AAA的因子个数为div_count(A)∏i1k(ei1) \texttt{div\_count}(A) \prod_{i1}^k (e_i 1)div_count(A)i1∏k​(ei​1)因为每个质因子pip_ipi​的指数可以从000到eie_iei​选择共有ei1e_i1ei​1种选择组合起来就是乘积。动态维护如果我们每天重新分解AAA复杂度会非常高因为AAA可能极大。注意到每天AAA只会乘以或除以一个数∣G∣|G|∣G∣我们可以动态维护AAA的质因数分解即每个质因子的指数并相应地更新因子个数。更新方法当乘以xxx时对xxx分解质因数对于每个质因子ppp及其指数eee设ppp原来的指数为old_expold\_expold_exp新的指数new_expold_expenew\_exp old\_exp enew_expold_expe。因子个数需要乘以new_exp1old_exp1\frac{new\_exp1}{old\_exp1}old_exp1new_exp1​。当除以xxx时对xxx分解质因数对于每个质因子ppp及其指数eee设ppp原来的指数为old_expold\_expold_exp新的指数new_expold_exp−enew\_exp old\_exp - enew_expold_exp−e。因子个数需要乘以new_exp1old_exp1\frac{new\_exp1}{old\_exp1}old_exp1new_exp1​。由于我们需要对109710^971097取模而模数是质数因此可以用模逆元来处理除法。算法步骤预处理使用线性筛法求出每个数的最小质因子Least Prime Factor, LPF \texttt{Least Prime Factor, LPF }Least Prime Factor, LPF以便快速分解∣G∣|G|∣G∣。预处理111到2×1062\times 10^62×106的模逆元因为指数可能很大但指数不会超过2×1062\times 10^62×106。对每个测试用例初始化一个哈希表expMap存储当前面积的质因子指数初始为空面积111时所有指数为000。初始化因子个数divCount 1111的因子个数为111。初始化总和sumWays 0。对于每一天的GGG计算val∣G∣val |G|val∣G∣。使用 LPF 快速分解valvalval。根据GGG的正负更新expMap和divCount。将当天的divCount累加到sumWays取模。输出结果。复杂度分析预处理LPF\texttt{LPF}LPF和逆元O(MAXlog⁡log⁡MAX)O(MAX \log \log MAX)O(MAXloglogMAX)其中MAX2×106MAX 2\times 10^6MAX2×106。每天分解∣G∣|G|∣G∣O(log⁡∣G∣)O(\log |G|)O(log∣G∣)。总复杂度O(T⋅D⋅log⁡∣G∣)O(T \cdot D \cdot \log |G|)O(T⋅D⋅log∣G∣)在D≤106D \le 10^6D≤106时可接受。代码实现// Just Make A Wish// UVa ID: 12619// Verdict: Accepted// Submission Date: 2025-12-17// UVa Run Time: 0.200s//// 版权所有C2025邱秋。metaphysis # yeah dot net#includebits/stdc.husingnamespacestd;typedeflonglongLL;constintMAX2000005;// 足够大因为 G 最大 1e6但面积质因子可能更大constLL MOD1000000007LL;vectorintlpf;// 最小质因子 Least Prime FactorvectorLLinv;// 模逆元// 快速幂取模LLmodPow(LL a,LL b){LL res1;while(b){if(b1)resres*a%MOD;aa*a%MOD;b1;}returnres;}// 预处理最小质因子和逆元voidinit(){lpf.resize(MAX,0);inv.resize(MAX,0);for(inti2;iMAX;i){if(lpf[i]0){// i 是质数lpf[i]i;for(intjii;jMAX;ji){if(lpf[j]0)lpf[j]i;}}}// 预处理逆元 inv[x] x^(-1) mod MODfor(inti1;iMAX;i)inv[i]modPow(i,MOD-2);}// 分解 x返回质因子-指数的映射vectorpairint,intfactorize(intx){vectorpairint,intres;while(x1){intplpf[x];intcnt0;while(x%p0){x/p;cnt;}res.push_back({p,cnt});}returnres;}intmain(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);init();// 预处理intT;cinT;for(intcaseNo1;caseNoT;caseNo){intD;cinD;unordered_mapint,intexpMap;// 当前面积的质因子指数LL divCount1;// 当前面积的因子个数LL sumWays0;for(intday0;dayD;day){intG;cinG;intvalabs(G);vectorpairint,intfactorsfactorize(val);if(G0){// 乘以 valfor(autopf:factors){intppf.first,epf.second;intoldExpexpMap[p];intnewExpoldExpe;// 更新因子个数除以(oldExp1)乘以(newExp1)divCountdivCount*inv[oldExp1]%MOD;divCountdivCount*(newExp1)%MOD;expMap[p]newExp;}}else{// 除以 valfor(autopf:factors){intppf.first,epf.second;intoldExpexpMap[p];intnewExpoldExp-e;divCountdivCount*inv[oldExp1]%MOD;divCountdivCount*(newExp1)%MOD;expMap[p]newExp;}}sumWays(sumWaysdivCount)%MOD;}coutCase caseNo: sumWays\n;}return0;}关键点总结因子个数的公式∏(ei1)\prod (e_i 1)∏(ei​1)。动态维护通过维护质因子指数避免对大数直接分解。模逆元因为模数是质数可以用费马小定理求逆元从而在模意义下做除法。预处理LPF\texttt{LPF}LPF快速分解∣G∣|G|∣G∣是算法高效的关键。这样即使DDD高达10610^6106算法也能在合理时间内运行完毕。