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设计介绍人的网站,人社通成都app下载,自建外贸网站,安卓开发软件工具1. 有限域有限域#xff08;Finite field#xff0c;也称为伽罗瓦域 Galois field#xff09;是指元素个数有限#xff0c;并且满足域的所有性质的代数结构。“域”是一个集合#xff0c;上面定义了加法、减法、乘法、除法#xff08;除了零元不能作除数#xff09;Finite field也称为伽罗瓦域 Galois field是指元素个数有限并且满足域的所有性质的代数结构。“域”是一个集合上面定义了加法、减法、乘法、除法除了零元不能作除数并满足熟悉的运算律结合律、交换律、分配律等。简单说有限域是一个“可以做四则运算”的有限集合。关键特性元素个数必须是某个质数 p的正整数次幂即 pn个元素记作 GF(pn)。当 n1时就是最常见的“模素数”的域 Zp​GF(p)。当 n1时结构更复杂不是简单的“模运算”而是由多项式模某个不可约多项式构造。例如集合 {0,1,2}不可能构成域因为 3 不是质数幂吗其实是 3 个元素 → 3 是素数所以可以 GF(3)—— 见后面“模 3”的例子。我举错了3 是素数所以 GF(3)存在。而集合元素个数是 4、8、9 等质数幂时都可以构造有限域。元素个数是 6 的域不存在因为 6 不是质数幂。2. 模素数“模素数”是构造有限域最简单的一种情况。假设 p是一个素数比如 2, 3, 5, 7, 11, …集合{0,1,2,…,p−1}上面定义加法和乘法为普通整数运算后再除以 p取余数称为模 p运算。为什么必须用素数因为如果不是素数比如模 4 运算集合 {0,1,2,3}中元素 2 没有乘法逆元在模 4 下找不到一个整数 x使得 2×x≡1(mod4)这样就不能做除法不满足域的条件。用素数 p可以保证每个非零元都有模 p下的乘法逆元。例子模 5 的有限域 GF(5)元素{0,1,2,3,4}加法347≡2 (mod 5)乘法3×412≡2 (mod 5)除法3÷2的意思是 3×(2−1)而 2−1是使得 2×x≡1(mod5)的 x这里 2×36≡1所以 2−13于是 3÷23×39≡4 (mod 5)。可验证 4×28≡3正确这样每个非零元 {1, 2, 3, 4} 都有逆元所以它是一个域。3. 有限域的一般构造当 n1GF(p)Zp​{0,1,…,p−1}运算为模 p加法和乘法。这是最常用的“模素数”域。当 n1例如 GF(4)有 4 个元素它不能是 Z4​因为 4 不是素数。构造方法是用 GF(2){0,1}上的二次不可约多项式比如 x2x1。设 α是一个根则 GF(4){0,1,α,α1}运算规则由多项式运算模 α2α10得出。总结回答有限域是元素个数有限的域元素个数必须是某个质数的幂 pn。“模素数”​ 是有限域在 n1时的特例运算为模 p加法和乘法其中 p是素数。这是构造有限域最简单的方法也是大部分密码学、编码理论中使用的基础概念之一。我们来一步步说清楚有限域的“求逆元”​ 的概念很重要。1. 在普通算术中“倒数”就是乘法逆元。比如 2 的倒数是 1/2或者 0.5因为 2×0.51。2. 在“模 5 算术”中我们现在在有限域 GF(5)里元素只有 {0,1,2,3,4}运算后都要除以 5 取余数。“2 的乘法逆元”记作意思是要找到一个整数 x在这个集合中使得也就是3. 我们来找这个 x在集合 {0,1,2,3,4}中逐一试2×00→ 余 0不是 12×12→ 余 2不是 12×24→ 余 4不是 12×36→ 6 除以 5 余 1对​ 因为 6mod512×48→ 8 除以 5 余 3不是 1所以 2−13在模 5 下。4. 验证“逆元”的作用是代替除法。比如 3÷2在模 5 下的计算我们不做除法而是用乘法9mod54所以结果是 4。验证4×28mod53符合“3÷24”的预期在模 5 下。5. 为什么一定要有逆元才能成“域”在域里每个非零元素都要有乘法逆元这样才能解方程 a×xba0。如果模 m不是素数比如模 4 时2 没有逆元因为 2×002×122×202×32结果总是 0 或 2不会得到 1所以 GF(4)不能是 Z4​必须用 GF(22)的另外结构。总结在 GF(5)中2−1就是满足的那个 x也就是 3。