山东滨州有多少网站开发公司软件管理工程师

山东滨州有多少网站开发公司,软件管理工程师,wordpress菜单突然拉不出,域名怎么建网站AI 辅助攻克数学难题#xff1a;Erdos#1026 问题的技术突破与应用前景 1. 引言#xff1a;数学研究的 AI 新纪元 1.1 从埃尔德什到 AI#xff1a;半个世纪的数学接力 2025 年 12 月#xff0c;数学界迎来了一个历史性时刻。一个困扰学界整整 50 年的悬案 —— 埃尔德什第…AI 辅助攻克数学难题Erdos#1026 问题的技术突破与应用前景1. 引言数学研究的 AI 新纪元1.1 从埃尔德什到 AI半个世纪的数学接力2025 年 12 月数学界迎来了一个历史性时刻。一个困扰学界整整 50 年的悬案 —— 埃尔德什第 1026 号问题 (Erdos Problem #1026)在菲尔兹奖得主陶哲轩 (Terence Tao) 与人工智能系统的协作下仅用 48 小时便被彻底攻克(105)。这一成就不仅标志着数学研究进入了人机协同的新时代更深刻地揭示了 AI 技术在推动科学发现方面的巨大潜力。故事要追溯到 1975 年。传奇数学家保罗・埃尔德什 (Paul Erdős1913-1996)这位被称为 “20 世纪最多产数学家” 的匈牙利学者在一篇论文的角落里草草写下了一个关于实数序列单调性的问题(105)。埃尔德什一生发表了超过 1500 篇论文与 507 位合作者共同工作在数论、组合数学、概率论等多个领域做出了开创性贡献(16)。他提出的问题往往既具有挑战性又具有深刻的数学内涵成为推动数学发展的重要源泉。然而这个被编号为 1026 的问题却成为了数学界的一个未解之谜。半个世纪以来无数数学家试图攻克它但都未能找到完整的答案。直到 2025 年 9 月 12 日这个问题被正式挂到 “埃尔德什问题网站” 上附加的注释写道“该问题表述较为模糊”。正是这种模糊性为 AI 技术的介入创造了机会。数学家 Desmond Weisenberg 在问题发布当天就提出了一个清晰的游戏化解释Alice 和 Bob 的硬币游戏。在这个游戏中Alice 有 N 枚硬币分成 n 堆每堆 xi 枚Bob 可以选取一个单调的子序列递增或递减拿走这些堆里所有硬币。问题转化为无论 Alice 怎么分堆Bob 至少能拿到总硬币数的多少比例这个比例被记作 c (n)。1.2 陶哲轩的评价AI 带来的 “全新理解”陶哲轩在宣布这一突破时强调在 AI 的辅助下人类团队仅用了 48 小时就顺利攻克了这一难题。更重要的是他特别指出“AI 在此过程中带来的是全新理解绝非搜索这么简单”。这一评价揭示了 AI 在数学研究中的真正价值 —— 它不仅是一个强大的计算工具更是一个能够产生新数学洞见的创造性伙伴。陶哲轩的评价反映了 AI 技术在数学研究中角色的根本性转变。传统上计算机在数学研究中主要扮演着计算和验证的角色如四色定理的证明就依赖于大量的计算机辅助计算。但在 Erdos#1026 问题的解决过程中AI 展现出了超越传统计算工具的能力它能够理解问题的本质提出新的研究方向并发现人类数学家未曾注意到的数学关系。1.3 研究意义与文章结构Erdos#1026 问题的成功解决具有多重意义。首先它证明了 AI 技术在解决复杂数学问题方面的巨大潜力为数学研究开辟了新的道路。其次它展示了人机协作模式在科学发现中的优越性人类的创造力与 AI 的计算能力相结合产生了 “112” 的效果。最后它为 AI 在其他科学领域的应用提供了宝贵的经验和启示。本文将深入分析这一突破性事件的技术细节、应用场景和发展前景。我们将首先详细介绍 Erdos#1026 问题的数学背景和历史发展然后重点分析 AI 系统 Aristotle 和 AlphaEvolve 的技术路径接着探讨 AI 在数学研究中的多样化应用场景最后展望 AI 数学研究的未来发展趋势并提供实用的技术指南。通过这一案例我们希望为技术专业人士和企业管理者提供关于 AI 辅助科学研究的深度洞察和实践指导。2. Erdos#1026 问题从模糊猜想走向精确证明2.1 埃尔德什 1975 年的原始问题埃尔德什在 1975 年提出的原始问题相当模糊。根据他的描述问题涉及一个定义在实数序列上的函数 S (x₁,…,xₙ)定义为所有单调序列 xᵢ₁,…,xᵢₘ的最大和。埃尔德什在回忆他与 Szekeres 的著名定理后写道“据我所知以下问题尚未解决。给定一个不同实数序列确定 S (x₁,…,xₙ) max ∑ᵣ xᵢᵣ其中最大值取遍所有单调序列”。这个问题的模糊性在于埃尔德什没有明确说明他想要研究 S 的什么性质。是求 S 的表达式还是找它和总和的比值下界抑或是其他什么这种模糊性恰恰反映了埃尔德什的研究风格 —— 他常常在论文中提出一些看似简单却蕴含深刻数学内涵的问题这些问题往往成为后续研究的起点。为了理解这个问题的背景我们需要回顾一下埃尔德什 - 塞凯赖斯定理 (Erdős-Szekeres theorem)。这个定理指出给定一个长度为 k²1 的不同实数序列总能找到一个长度为 k1 的单调子序列递增或递减而且这个界是最优的。埃尔德什在提出 #1026 问题时显然是想将这个组合学结果推广到加权的情形其中序列的每个元素都有一个权重而我们关心的是单调子序列的权重和。2.2 问题的数学本质与 50 年研究历程尽管原始问题表述模糊但数学家们还是从不同角度对其进行了探索。Desmond Weisenberg 提出的 “硬币游戏” 解释成为了理解这个问题的关键。在这个游戏化的表述中我们定义 c (n) 为最大的常数使得对于所有不同实数 x₁,…,xₙ都有 S (x₁,…,xₙ) ≥ c (n)∑ᵢ1ⁿ xᵢ。换句话说c (n) 表示 Bob 在最坏情况下即 Alice 采用最优策略分堆时能够保证获得的硬币比例下限。这个问题看似简单但实际上蕴含着深刻的数学结构。它与埃尔德什 - 塞凯赖斯定理密切相关但又超越了后者。在埃尔德什 - 塞凯赖斯定理中我们只关心单调子序列的长度而在这里我们关心的是它们的加权和。这种从 “长度” 到 “权重和” 的推广使得问题变得更加复杂和有趣。50 年来数学家们对这个问题进行了不懈的探索。早期的研究主要集中在寻找 c (n) 的上下界。Wouter van Doorn 利用 Hanani 的一个结果给出了下界c (n) ≥ (1/√2)/√n这意味着√n・c (n) 的下限是 1/√2。另一方面通过构造特定的序列如将硬币分成 k² 堆每堆大小相近排列成 k 个递减块每块 k 堆块之间递增Stijn Cambie 发现最长单调子序列只有 k 堆因此得到上界 c (k²) ≤ 1/k。这些结果虽然给出了 c (n) 的大致范围但距离完整的解答还很远。数学家们意识到要彻底解决这个问题需要找到 c (n) 的精确表达式而这需要全新的数学工具和思路。2.3 问题的游戏化解释与转化Weisenberg 的游戏化解释不仅让问题变得更加直观还揭示了它与其他数学领域的联系。在这个解释中Alice 和 Bob 的策略选择对应着数学中的极值问题 ——Alice 试图最小化 Bob 能获得的比例而 Bob 则试图最大化这个比例。这种对抗性的设定在数学中被称为 “极值问题”是许多重要数学结果的来源。更重要的是这个问题可以重新解释为一个几何问题。Lawrence Wu 敏锐地指出这个数列问题在几何上等价于一个 “正方形填充问题”—— 即将一系列小正方形互不重叠地填入一个大正方形中(105)。具体来说对于任意序列 x₁,…,xₙ可以构造一系列正方形它们的边长分别为 x₁,…,xₙ这些正方形能够互不重叠地填满一个边长为 S (x₁,…,xₙ) 的大正方形。这种几何解释为问题的解决提供了新的思路。通过将代数问题转化为几何问题数学家们可以利用几何直观和已知的几何结果来推进研究。特别是这个问题与埃尔德什问题 106关于正方形填充的问题密切相关而后者最近刚被 Baek、Koizumi 和 Ueoro 解决(92)。这种跨领域的联系展示了数学的统一性和 AI 在发现这种联系中的重要作用。3. AI 系统的技术突破从 Aristotle 到 AlphaEvolve3.1 Aristotle 系统Lean 证明语言中的自动推理在 Erdos#1026 问题的解决过程中Harmonic 公司开发的 AI 系统 Aristotle 扮演了关键角色。Aristotle 是一个基于 Lean 4 证明辅助语言的 AI 系统能够将自然语言数学问题转换为形式化的数学语言并自动生成严格的数学证明(57)。Aristotle 的核心技术架构基于强化学习和自博弈机制。系统通过不断创建和解决合成数学问题来改进自己的推理能力这个过程被称为 “自博弈训练循环”(self-play training loop)。在这个循环中Aristotle 生成候选解决方案然后通过 Lean 4 的确定性检查器进行形式化验证确保每一步推理都符合严格的逻辑规则。这种方法的优势在于它能够提供绝对的正确性保证。与传统的 AI 系统不同Aristotle 生成的每一个解决方案都经过了 Lean 4 的形式化验证确保从基础公理到最终结论的每一步推理都是正确的(60)。这意味着一旦 Aristotle 找到一个证明我们就可以 100% 地确信它是正确的而不需要担心 AI幻觉 或错误推理的问题。在解决 Erdos#1026 问题时Aristotle 自动证明了一个关键结论c (k²) 1/k。这个证明的关键在于将原问题转化为一个矩形填充问题然后利用已知的几何结果进行推理。证明过程展示了 Aristotle 在处理复杂数学概念和发现数学联系方面的能力。它不仅能够进行常规的逻辑推理还能够识别问题的本质特征并找到合适的数学工具来解决它。3.2 AlphaEvolve 系统进化算法驱动的数值探索Google DeepMind 开发的 AlphaEvolve 系统采用了完全不同的技术路径。与 Aristotle 专注于形式化证明不同AlphaEvolve 是一个使用大语言模型 (LLM) 来迭代进化代码的系统(65)。它的核心思想是将 LLM 的创造性与进化算法的优化能力相结合通过模拟 “适者生存” 的原理来探索数学问题的解空间(63)。AlphaEvolve 的工作流程可以分为几个步骤。首先系统生成大量的程序变体每个变体都是解决问题的一个候选方案。然后这些变体在一个 “种群” 中相互竞争表现好的程序被认为更 “适合”并被用作下一代程序的基础(67)。这个过程会迭代进行每一代都会产生更优秀的解决方案。在 Erdos#1026 问题的研究中陶哲轩使用 AlphaEvolve 来探索 c (n) 的数值结果。他要求系统通过生成总和为固定值这里选择了 10⁶的实数序列来获取 c (n) 的上界并尽可能确保 S 的值足够小(71)。AlphaEvolve 在短短一小时内就生成了 n1 到 16 的数值结果(95)。这些数值结果看似杂乱无章但通过进一步分析一个清晰的模式逐渐浮现。Boris Alexeev 从中提炼出了一个简洁的公式并用 “红” 蓝 两种数值的块交替排列的方式构造出了极值序列成功控制了单调子序列的长度。这个发现展示了 AlphaEvolve 在探索复杂数学结构和发现隐藏模式方面的独特能力。3.3 双系统协同形式证明与数值探索的完美结合Aristotle 和 AlphaEvolve 的结合使用展示了 AI 系统在数学研究中的协同效应。这种协同不是简单的功能叠加而是两种不同但互补的思维方式的融合。Aristotle 代表了 “自上而下” 的演绎推理路径。它从已知的数学公理和定理出发通过严格的逻辑推导来证明新的结论。这种方法的优势在于它能够提供绝对正确的证明但缺点是可能错过一些人类直觉难以发现的创新路径。相比之下AlphaEvolve 采用了 “自下而上” 的归纳探索策略。它通过大量的数值实验和模式识别来发现数学规律然后将这些发现反馈给人类数学家进行严格证明。这种方法的优势在于它能够发现人类可能忽略的数学模式但缺点是这些发现需要进一步的严格验证。在 Erdos#1026 问题的解决过程中这两个系统形成了一个完美的闭环。AlphaEvolve 通过数值探索发现了 c (n) 的候选公式Aristotle 则负责验证这个公式在特定情况下如 n 为平方数的正确性。同时人类数学家在这个过程中发挥了不可替代的作用 —— 他们负责解释 AI 的发现将数值模式转化为数学猜想并最终完成完整的证明。这种协同模式的成功给我们带来了重要启示在未来的数学研究中AI 不应该被视为人类的替代品而应该是人类的增强工具。人类的创造力、直觉和审美与 AI 的计算能力、模式识别和逻辑推理相结合能够产生超越任何一方单独工作的效果。3.4 AI 深度搜索文献发现与知识整合除了直接参与证明过程AI 在文献发现和知识整合方面也发挥了关键作用。Lawrence Wu 使用 AI 深度搜索工具成功找到了 2024 年 Baek、Koizumi 和 Ueoro 发表的一篇关键论文(71)。这篇论文证明了埃尔德什问题 106 的轴平行形式其中包含了一个重要结果f (k²2c1) ≤ kc/k(92)。这个发现的重要性在于它为 Erdos#1026 问题提供了关键的拼图。通过结合 Praton 的嵌入论证这个结果恰好给出了 c (k²2a1) ≤ k/(k²a)从而完成了 c (n) 上界的证明(92)。如果没有 AI 的帮助要在浩如烟海的数学文献中找到这篇特定的论文几乎是不可能的。更重要的是AI 的文献搜索能力不仅仅是简单的关键词匹配。它能够理解问题的数学本质识别不同领域之间的潜在联系并找到那些标题或摘要中没有直接提及相关内容的论文。这种 “概念搜索” 能力是传统文献检索工具所不具备的它代表了 AI 在知识发现方面的革命性突破。陶哲轩特别强调AI 在这个过程中 “不是简单搜索”而是在 “生成新的数学洞见”。这一评价准确地概括了 AI 在现代数学研究中的新角色 —— 它不仅是一个高效的工具更是一个能够理解数学概念、发现隐藏联系并产生创新想法的智能伙伴。4. 48 小时攻克历程人机协作的典范4.1 时间线梳理从问题发布到完整证明2025 年 9 月 12 日Erdos#1026 问题被正式发布到埃尔德什问题网站上。这个看似平凡的日子却成为了数学史上的一个转折点。从问题发布到获得完整证明整个过程充满了戏剧性的发展和意外的发现。问题发布当天数学家 Desmond Weisenberg 就提出了具有里程碑意义的游戏化解释。他将原本模糊的数学问题转化为 Alice 和 Bob 的硬币游戏使得问题的目标变得清晰明确。这一转化不仅帮助其他数学家理解了问题的本质也为后续的研究指明了方向。紧接着Stijn Cambie 在一小时内就发现了关键的上界构造。他注意到如果 Alice 将硬币分成 k² 堆每堆大小相近并排列成 k 个递减块每块 k 堆块之间递增那么最长单调子序列只有 k 堆。这一观察立即给出了上界 c (k²) ≤ 1/k。这个发现展示了人类数学家在面对新问题时的敏锐洞察力。几乎同时Wouter van Doorn 利用 Hanani 的一个已知结果给出了下界 c (n) ≥ (1/√2)/√n。这个结果虽然不如上界精确但它为问题的解提供了一个重要的参考范围也为后续的研究奠定了基础。第二天Stijn Cambie 通过手工计算得到了 n1 到 9 的 c (n) 精确值1, 1, 2/3, 1/2, 1/2, 3/7, 2/5, 3/8, 1/3。这些看似杂乱的分数实际上隐藏着某种规律为后来 AlphaEvolve 的发现提供了重要线索。两个月后的 12 月 7 日决定性的突破出现了。Boris Alexeev 使用 AI 工具 Aristotle 在 Lean 中自动证明了 c (k²)1/k。几乎同时Koishi Chan 给出了一个基于埃尔德什 - 塞凯赖斯定理的优美人类证明使用了 “膨胀法” 技术。这两个独立的证明相互印证确认了猜想的正确性。随后陶哲轩使用 AlphaEvolve 系统进行了更深入的探索得到了 n1 到 16 的数值结果。通过对这些结果的分析Boris Alexeev 提炼出了 c (n) 的一般公式。Lawrence Wu 则指出了这个问题与埃尔德什问题 106正方形填充问题的等价性并通过 AI 搜索找到了 2024 年 Baek、Koizumi 和 Ueoro 的关键论文。最终通过结合多个数学工具和结果整个证明在 48 小时内完成。这个时间跨度虽然看似短暂但实际上凝聚了 50 年来无数数学家的智慧积累以及 AI 系统的强大计算能力。4.2 人类数学家的关键作用创造力与判断力在整个 48 小时的攻克过程中人类数学家发挥了不可替代的作用。他们的创造力、判断力和数学直觉与 AI 的计算能力形成了完美的互补。首先人类数学家负责问题的理解和转化。Weisenberg 将模糊的原始问题转化为清晰的游戏化表述这一步骤至关重要。没有这种创造性的转化后续的所有研究都将失去方向。这种能力源于人类对数学概念的深刻理解和丰富的想象力是 AI 目前还无法完全模拟的。其次人类数学家在关键时刻提供了关键的洞察。Stijn Cambie 发现的上界构造不仅巧妙而且具有深刻的数学内涵。他通过类比埃尔德什 - 塞凯赖斯定理的极值构造创造性地设计了一种特殊的序列排列方式。这种类比思维和构造能力体现了人类数学家的独特价值。第三人类数学家负责验证和解释 AI 的发现。当 Aristotle 自动证明了 c (k²)1/k 时Koishi Chan 几乎同时给出了一个人类可以理解的证明。这个 “膨胀法” 证明不仅验证了 AI 的结果还揭示了问题背后的几何意义。人类数学家能够将 AI 的形式化证明转化为直观的数学图像这种能力对于数学知识的传播和理解至关重要。最后人类数学家负责整合不同的结果形成完整的理论体系。在收集了来自 AI 系统、文献搜索和手工计算的各种结果后人类数学家需要判断哪些结果是可靠的如何将它们有机地结合起来以及还需要补充哪些环节。这种综合判断能力是数学研究的核心也是 AI 目前还无法完全替代的。4.3 AI 的独特贡献计算能力与模式识别AI 在这个过程中展现了多项独特的能力这些能力是人类数学家所不具备或难以匹敌的。首先是强大的计算能力。AlphaEvolve 在一小时内就完成了 n1 到 16 的数值计算而 Stijn Cambie 手工计算 n1 到 9 就需要一天时间。这种计算速度的差异不仅体现在数量上更重要的是它使得大规模的数值实验成为可能。通过计算更多的数值点AI 能够发现人类难以察觉的模式和规律。其次是模式识别能力。AlphaEvolve 生成的数值结果表面上看起来毫无规律但 AI 系统能够从中识别出隐藏的数学结构。Boris Alexeev 从这些看似随机的分数中提炼出了简洁的公式这种模式识别能力远超人类的直觉。AI 能够在海量的数据中发现微弱的信号这是它在科学研究中的一个重要优势。第三是文献搜索能力。AI 深度搜索工具能够理解问题的数学本质在庞大的学术数据库中找到最相关的文献。Lawrence Wu 找到的 2024 年论文不仅提供了关键的数学结果还揭示了 Erdos#1026 问题与其他数学领域的深刻联系。这种跨领域的知识发现能力是 AI 为科学研究带来的重要贡献。第四是形式化验证能力。Aristotle 能够对数学证明进行严格的形式化验证确保每一步推理都符合逻辑规则。这种能力在处理复杂的数学证明时尤为重要它能够发现人类可能忽略的逻辑漏洞或错误。更重要的是形式化验证提供了数学结果的绝对正确性保证这对于建立可靠的数学知识体系具有重要意义。4.4 协同模式分析人机协作的最佳实践Erdos#1026 问题的成功解决为我们展示了人机协作的最佳实践模式。这种模式的核心在于充分发挥人类和 AI 各自的优势形成互补而非竞争的关系。在这个案例中人机协作呈现出以下几个特点任务分工明确人类负责创造性的问题转化、直觉判断和结果解释AI 负责大规模计算、模式识别和形式化验证。这种分工充分利用了双方的优势能力。交互频繁高效人类数学家与 AI 系统之间保持着密切的互动。人类提出问题、设定目标、解释结果AI 提供数据、发现模式、验证证明。这种双向的信息流确保了整个研究过程的高效推进。结果相互验证人类的手工计算和 AI 的自动计算相互印证人类的直观证明和 AI 的形式化证明相互补充。这种多重验证机制大大提高了结果的可靠性。知识共享开放整个研究过程在埃尔德什问题网站上公开进行所有的发现和讨论都实时共享。这种开放性不仅加速了问题的解决也为其他研究者提供了宝贵的经验。迭代优化循环从最初的问题理解到最终的完整证明整个过程经历了多次迭代。每一次迭代都基于前一次的结果进行优化形成了一个不断改进的螺旋式上升过程。这种协同模式的成功给我们带来了重要启示在未来的科学研究中人机协作不应该是简单的工具使用关系而应该是深度融合的伙伴关系。人类的创造力与 AI 的计算力相结合人类的洞察力与 AI 的模式识别相结合人类的判断力与 AI 的验证能力相结合才能产生最强大的研究能力。5. AI 在数学研究中的应用场景与价值5.1 纯数学研究定理发现与证明辅助AI 在纯数学研究中的应用正在开创一个全新的时代。传统上数学研究被认为是人类智慧的最高体现需要深厚的理论基础、敏锐的直觉和创造性的洞察力。然而AI 技术的发展正在改变这一格局它不仅能够辅助人类数学家进行繁琐的计算和验证还能够主动发现新的数学定理和模式。在定理发现方面AI 展现出了惊人的能力。通过分析大量的数学数据和模式AI 系统能够提出看似合理的数学猜想。例如在研究数论中的素数分布时AI 可以通过分析素数的统计规律提出关于素数间隔或素数密度的新猜想。这些猜想虽然需要人类数学家的严格证明但它们为数学研究提供了宝贵的方向和灵感。在证明辅助方面AI 系统如 Aristotle 和 Lean 已经能够处理相当复杂的数学证明。它们不仅能够验证已知证明的正确性还能够主动寻找证明路径。特别是在处理那些需要大量分情况讨论或复杂计算的证明时AI 的优势尤为明显。例如在组合数学中许多定理的证明需要考虑大量的特殊情况AI 可以系统地检查每一种情况而人类数学家则可以专注于设计证明的总体策略。更重要的是AI 正在帮助数学家发现不同数学领域之间的联系。通过分析数学文献和定理数据库AI 能够识别出看似无关的领域之间的潜在联系从而为跨学科的数学研究开辟新的可能性。这种 “知识整合” 能力是 AI 为数学研究带来的独特贡献。5.2 密码学与安全复杂算法的验证与破解密码学是 AI 应用的另一个重要领域它与数学有着天然的紧密联系。现代密码系统的安全性往往基于某些数学问题的困难性如大整数分解、离散对数等。AI 技术的发展正在对密码学产生深远的影响既带来了新的安全挑战也提供了新的保护手段。在算法验证方面AI 能够帮助密码学家验证复杂密码算法的安全性。传统的密码分析往往需要大量的数学推导和计算AI 可以自动化这些过程发现潜在的安全漏洞。例如在分析对称密码算法的差分特性或线性特性时AI 可以通过大规模的数值实验快速识别出算法的弱点。在密码破解方面AI 的强大计算能力和模式识别能力使其成为密码分析的有力工具。特别是在处理那些依赖于统计规律的密码系统时AI 能够通过分析大量的密文数据发现隐藏的统计模式从而破解密码。这对现有的密码系统提出了严峻的挑战也推动了密码学向更加安全的方向发展。同时AI 也在帮助设计更加安全的密码系统。通过机器学习技术密码学家可以设计出能够自适应环境变化的密码算法这些算法能够根据攻击模式的变化自动调整加密策略从而提高系统的整体安全性。5.3 优化算法设计复杂问题的求解与改进优化问题在数学和工程中无处不在从资源分配到路径规划从参数调优到系统设计都涉及到优化算法的应用。AI 技术正在为优化算法的设计和改进提供新的思路和工具。在算法设计方面AI 能够通过学习大量的优化问题和解决方案发现新的算法模式和策略。例如在研究组合优化问题时AI 可以通过分析不同算法在各种实例上的表现自动生成新的混合算法这些算法结合了多种传统算法的优点能够在更广泛的问题类上取得更好的性能。在算法改进方面AI 可以通过强化学习等技术让算法在与环境的交互中不断学习和改进。例如在处理动态优化问题时传统算法往往难以适应环境的变化而基于 AI 的算法可以实时调整策略保持最优性能。特别值得一提的是AI 在解决 NP-hard 等困难优化问题方面展现出了巨大潜力。虽然理论上这些问题没有多项式时间的精确算法但 AI 可以通过启发式方法和近似算法在合理的时间内找到高质量的近似解。这种能力在实际应用中具有重要价值特别是在那些对解的质量要求较高但又无法承受过长计算时间的场景中。5.4 机器学习理论AI 的自我完善与突破有趣的是AI 技术本身也在推动机器学习理论的发展。这种 “AI 研究 AI” 的模式正在产生许多令人兴奋的成果。在理论分析方面AI 帮助研究者更好地理解深度学习模型的行为和性质。通过分析神经网络的权重分布、激活模式等AI 可以发现模型的内在结构和工作机制。这些发现不仅有助于改进现有模型也为新的理论框架的建立提供了基础。在算法创新方面AI 正在推动新的学习范式的出现。例如通过研究人类的学习过程AI 系统可以提出新的学习算法这些算法模仿人类的认知机制具有更强的泛化能力和适应性。在性能优化方面AI 可以自动调整机器学习系统的超参数优化网络架构选择最优的训练策略。这种自动化的优化过程大大提高了机器学习系统的开发效率也使得非专家用户能够更容易地使用这些技术。5.5 商业价值分析市场规模与投资前景AI 在数学研究领域的应用正在形成一个巨大的市场。根据最新的市场研究全球数学计算软件市场规模在 2023 年约为 28 亿美元预计到 2032 年将达到 56 亿美元年复合增长率为 7.5%(132)。而整个 AI 算法市场的规模更是惊人预计将从 2025 年的 710 亿美元增长到 2032 年的 24,070 亿美元年复合增长率高达 30.6%(133)。这些数字背后反映的是企业对 AI 数学工具的巨大需求。在金融领域AI 数学工具被广泛用于风险评估、投资组合优化、算法交易等场景。例如通过使用 AI 进行复杂的数学建模和优化金融机构可以更准确地预测市场走势优化投资策略提高收益并降低风险。在制造业和工程领域AI 数学工具被用于设计优化、质量控制、供应链管理等方面。通过使用 AI 进行复杂的数值模拟和优化计算企业可以设计出更高效的产品提高生产效率降低成本。在科研机构和高等院校AI 数学工具正在成为研究和教学的重要辅助手段。它们不仅提高了研究效率还能够帮助学生更好地理解复杂的数学概念。投资界对 AI 数学领域的热情也在不断升温。例如专注于数学 AI 的创业公司 Harmonic 在 2025 年 11 月获得了 1.2 亿美元的 C 轮融资估值达到 14.5 亿美元(129)。这些投资反映了资本市场对 AI 数学工具商业前景的看好。然而要实现这些商业价值企业需要注意以下几点技术选型选择适合自己业务需求的 AI 数学工具需要考虑精度要求、计算效率、成本等多个因素。人才培养AI 数学工具的有效使用需要既懂数学又懂 AI 的复合型人才企业需要加大对这类人才的培养和引进。数据准备高质量的数据是 AI 数学工具发挥作用的基础企业需要建立完善的数据管理体系。风险控制在使用 AI 数学工具时需要建立相应的风险控制机制确保结果的可靠性和安全性。6. 发展前景与技术趋势6.1 AI 数学研究的技术演进路径AI 在数学研究领域的发展正在经历一个快速演进的过程。从最初的简单计算工具到现在的智能研究伙伴AI 的角色正在发生根本性的转变。展望未来我们可以预见以下几个重要的技术发展趋势。首先是 AI 数学推理能力的持续提升。当前的 AI 系统已经能够处理一些相对简单的数学证明但要达到人类数学家的水平还有很长的路要走。未来的发展方向包括提高 AI 在处理抽象数学概念方面的能力增强其在多步推理和复杂逻辑关系理解方面的表现以及提升其在数学美学判断如选择 “优雅” 的证明路径方面的能力。其次是 AI 与人类协作模式的不断优化。未来的 AI 系统将更加智能地理解人类数学家的意图提供更加个性化的研究辅助。例如AI 可以学习特定数学家的研究风格和偏好主动提供符合其思维模式的建议和工具。同时AI 系统之间也将形成更好的协作机制不同功能的 AI 工具可以无缝集成形成强大的研究生态系统。第三是 AI 在跨学科数学研究中的应用拓展。数学与物理、化学、生物、工程等学科的交叉融合越来越深入AI 在这些交叉领域将发挥越来越重要的作用。例如在计算物理中AI 可以帮助求解复杂的偏微分方程在生物数学中AI 可以发现复杂生物系统中的数学规律。第四是 AI 数学工具的普及化和易用化。随着技术的进步AI 数学工具将变得越来越容易使用即使是数学基础相对薄弱的用户也能轻松上手。这将大大扩展 AI 数学工具的应用范围推动数学方法在更多领域的普及。6.2 人机协作模式的未来展望人机协作将成为未来数学研究的主流模式。这种模式不是简单的工具使用关系而是深度融合的伙伴关系。在这种关系中人类和 AI 各自发挥自己的优势共同推动数学研究的进步。在未来的人机协作模式中人类数学家将扮演 “创意总监” 的角色。他们负责提出研究问题、制定研究方向、评估研究成果的重要性和美感。而 AI 系统则扮演 “执行引擎” 的角色负责处理繁琐的计算、验证、搜索等工作。这种分工将使人类数学家能够将更多精力投入到创造性工作中大大提高研究效率和质量。更重要的是未来的人机协作将呈现出更加智能化的特征。AI 系统将能够理解人类数学家的研究意图主动提供相关的工具和信息。例如当数学家在思考某个问题时AI 可以自动检索相关的文献、提供类似问题的解决方案、甚至提出新的研究思路。同时人机协作也将变得更加灵活和自适应。不同的研究任务可能需要不同的协作模式AI 系统能够根据任务特点自动调整自己的角色和功能。例如在探索性研究中AI 可能更多地扮演 “发现者” 的角色在验证性研究中AI 可能更多地扮演 “验证者” 的角色。6.3 对数学教育与研究模式的深远影响AI 技术的发展正在深刻改变数学教育和研究的模式。这种改变不仅体现在工具层面更体现在思维方式和方法论层面。在数学教育方面AI 将成为个性化学习的重要工具。传统的数学教育往往采用 “一刀切” 的方式难以满足不同学生的学习需求。而 AI 可以根据每个学生的学习进度、理解能力、兴趣爱好等因素提供个性化的教学内容和方法。例如AI 可以为每个学生生成适合其水平的练习题提供实时的学习反馈甚至模拟一对一的数学辅导。更重要的是AI 将改变学生学习数学的方式。传统的数学学习往往强调记忆和练习而未来的数学学习将更加注重理解和创新。AI 可以帮助学生直观地理解抽象的数学概念通过可视化和互动的方式展示数学的美和实用性。同时AI 也可以激发学生的数学兴趣通过游戏化的方式让数学学习变得更加有趣。在数学研究方面AI 正在推动研究范式的转变。传统的数学研究往往是个人或小团队的工作研究周期长成果产出慢。而在 AI 的辅助下数学研究正在向大规模协作的方向发展。全球的数学家可以通过 AI 平台实时共享研究进展、讨论问题、协同工作。这种全球化的研究模式将大大加速数学研究的进程。同时AI 也在改变数学研究的方法论。传统的数学研究主要依靠演绎推理和证明而在 AI 的帮助下归纳推理和实验数学的方法将得到更多应用。数学家可以通过 AI 进行大规模的数值实验发现数学规律然后再进行严格的证明。这种 “实验 - 猜想 - 证明” 的研究模式将成为未来数学研究的重要方法。6.4 潜在挑战与应对策略尽管 AI 在数学研究领域展现出巨大潜力但我们也必须清醒地认识到其中存在的挑战和风险。首先是技术挑战。当前的 AI 系统在处理复杂数学推理时仍然存在局限性。例如在处理需要深层数学直觉的问题时AI 往往显得力不从心。此外AI 系统的 “黑箱” 特性也带来了可解释性的问题 —— 我们往往不知道 AI 为什么会得出某个结论这在需要严格逻辑验证的数学研究中是一个严重的问题。其次是可靠性挑战。虽然 AI 系统在很多情况下表现出色但它们也可能出现错误特别是在处理边缘情况或异常输入时。在数学研究中一个错误的结论可能会导致整个研究方向的偏差因此确保 AI 系统的可靠性至关重要。第三是伦理和社会挑战。AI 在数学研究中的广泛应用可能会带来一些社会问题如数学家的失业、数学研究的公平性问题等。我们需要制定相应的伦理规范和政策确保 AI 的发展不会对人类数学家造成过度冲击。面对这些挑战我们提出以下应对策略技术创新加大对 AI 数学推理技术的研发投入特别是在提高可解释性、增强可靠性等方面。标准制定建立 AI 数学工具的行业标准和评估体系确保 AI 系统的质量和可靠性。人才培养加强对 AI 数学复合型人才的培养既要有深厚的数学功底又要熟悉 AI 技术。制度建设建立相应的法律法规和伦理规范确保 AI 在数学研究中的应用符合人类价值观。国际合作加强国际间的合作与交流共同推动 AI 数学研究的健康发展。7. AI 数学工具使用指南7.1 技术选型建议选择合适的 AI 数学工具是成功应用 AI 进行数学研究的第一步。不同的研究需求和应用场景需要不同类型的工具正确的选型将大大提高研究效率和成果质量。对于理论数学研究推荐使用形式化证明工具如 Lean、Coq 或 Isabelle。这些工具能够提供严格的逻辑验证确保证明的正确性。其中Lean 因其活跃的社区和友好的用户界面特别适合初学者入门。如果需要处理更复杂的高阶逻辑问题Isabelle 是一个不错的选择。对于需要大量数学库支持的研究Coq 的 MathComp 库提供了丰富的数学定理和证明策略。对于应用数学和计算数学数值计算工具如 MATLAB、Mathematica 或 Python 的科学计算库如 NumPy、SciPy是必不可少的。这些工具擅长处理大规模数值计算、数据分析和可视化。如果需要进行符号计算Maple 和 Mathematica 提供了强大的符号处理能力。对于AI 辅助的数学发现大语言模型如 GPT-4、Claude 或 Gemini 是重要的工具。GPT-4 在综合数学能力方面表现最强能够处理复杂的数学问题Claude 在长文本推理方面有优势适合处理需要大量上下文的问题Gemini 的多模态能力使其特别适合结合数值可视化进行数学探索(157)。对于特定领域的应用如密码学、优化算法等需要选择专门的工具。例如在密码学研究中可以使用专门的密码分析工具如 Hashcat、John the Ripper 等在优化算法研究中可以使用 Gurobi、CPLEX 等商业优化求解器或 SCIP、GLPK 等开源工具。在选型时还需要考虑以下因素学习成本评估团队成员学习和掌握新工具所需的时间和精力。计算资源确保有足够的硬件支持特别是对于需要大量计算的 AI 模型。集成需求考虑所选工具与现有工作流程和系统的兼容性。成本效益综合考虑购买、维护和使用成本。7.2 实施路径规划成功实施 AI 数学工具需要精心的规划和系统的方法。以下是一个分阶段的实施路径建议。第一阶段需求分析与准备1-2 个月在这个阶段首先要明确使用 AI 数学工具的具体目标和需求。是要提高证明验证的效率还是要发现新的数学模式或是要加速数值计算明确的目标将指导后续的工具选择和实施策略。其次要评估现有的技术基础和团队能力。了解团队成员的数学背景、编程能力和对 AI 技术的熟悉程度据此制定相应的培训计划。同时要检查现有的硬件设施和软件环境确保能够支持所选 AI 工具的运行。第三要建立数据准备机制。高质量的数据是 AI 工具发挥作用的基础需要收集、整理和标注相关的数学数据包括定理库、证明库、数值数据集等。第二阶段工具选择与部署2-3 个月基于需求分析的结果选择合适的 AI 数学工具。可以先进行小规模的试用和对比测试评估不同工具在实际应用中的表现。在部署过程中要注意以下几点环境配置确保 AI 工具所需的运行环境正确配置包括操作系统、编程语言、依赖库等。性能优化根据硬件配置对 AI 工具进行性能调优如调整内存使用、并行计算参数等。安全设置建立适当的安全机制保护研究数据和知识产权。文档准备整理详细的使用文档和操作指南方便团队成员学习使用。第三阶段培训与试点应用3-4 个月在全面推广之前先在小范围内进行试点应用。选择一些相对简单但具有代表性的数学问题使用 AI 工具进行处理验证工具的有效性和可靠性。同时要加强团队培训。培训内容应包括工具使用培训掌握 AI 数学工具的基本操作和高级功能。数学知识更新了解 AI 辅助数学研究的新方法和新思维。最佳实践分享总结试点项目中的经验教训形成标准操作流程。协作模式建立建立人机协作的工作流程和沟通机制。第四阶段全面推广与优化持续进行在试点成功的基础上逐步推广到更多的研究项目中。在推广过程中要建立完善的监控和评估机制及时发现问题并进行优化。持续优化包括性能优化根据实际使用情况不断调整 AI 工具的参数和配置。功能扩展根据新的需求增加新的工具功能或集成新的工具。流程改进优化人机协作流程提高工作效率。知识管理建立知识库记录成功案例和经验教训。7.3 人机协作环境构建构建高效的人机协作环境是充分发挥 AI 数学工具价值的关键。以下是一些重要的构建要点。硬件环境配置计算资源配备高性能的服务器或工作站确保有足够的 CPU、内存和 GPU 资源支持 AI 模型的运行。对于大规模的数学计算可能需要集群环境的支持。存储系统建立高速、大容量的存储系统用于存储大量的数学数据、模型文件和计算结果。网络环境确保稳定高速的网络连接支持团队成员之间的实时协作和数据共享。软件平台搭建集成开发环境搭建统一的开发环境集成各种 AI 数学工具方便用户使用。协作平台建立团队协作平台支持实时讨论、代码共享、版本控制等功能。监控系统建立系统监控和日志记录系统及时发现和解决问题。安全防护部署完善的安全防护系统保护研究成果和知识产权。工作流程设计任务分配机制明确哪些任务适合 AI 处理哪些任务需要人类参与建立合理的任务分配机制。质量控制流程建立多级质量控制机制确保 AI 生成的结果经过严格验证。知识共享机制建立知识管理系统及时总结和分享研究经验。激励机制设计合理的激励机制鼓励团队成员积极使用 AI 工具创新工作方法。团队建设人才结构建立包括数学家、AI 工程师、数据分析师等在内的跨学科团队。技能培训定期组织培训提升团队成员的综合能力。文化建设营造开放、协作、创新的团队文化鼓励尝试和创新。外部合作建立与其他研究机构、高校的合作关系共享资源和经验。7.4 投资回报率评估评估 AI 数学工具的投资回报率 (ROI) 对于企业和研究机构的决策至关重要。以下是一个全面的 ROI 评估框架。成本构成分析AI 数学工具的投资成本主要包括初始投资软件许可费用、硬件采购成本、系统集成费用等。运营成本维护费用、升级费用、人员工资、培训费用等。机会成本学习使用新工具的时间成本、可能的生产效率下降等。根据市场调研不同类型的 AI 数学工具成本差异很大。基础的数学软件如 MATLAB 可能只需要几千美元而高端的 AI 推理系统如 Harmonic 的 Aristotle 可能需要数百万美元的投资(129)。收益评估指标AI 数学工具带来的收益是多方面的需要从多个维度进行评估效率提升计算速度的提升、证明验证时间的缩短、研究周期的减少等。根据案例分析使用 AI 工具可以将某些数学问题的解决时间从数月缩短到数天(107)。质量改进证明的准确性提高、错误率降低、发现新定理的能力增强等。创新能力发现新的数学模式、提出新的研究方向、产生突破性成果等。成本节约减少人工计算成本、降低错误导致的返工成本、提高资源利用效率等。竞争优势在行业内的技术领先地位、获得更多的研究机会和项目等。ROI 计算方法ROI 的基本计算公式为ROI (收益 - 成本) / 成本 × 100%但在实际应用中需要考虑更多因素直接收益可以量化的收益如计算时间的减少、人力成本的节约等。间接收益难以直接量化但确实存在的收益如创新能力的提升、研究质量的改善等。时间价值考虑货币的时间价值对未来收益进行折现。风险因素考虑技术风险、市场风险等不确定因素的影响。根据行业研究AI 数学工具的投资回报率通常在 150% 以上一些成功案例的 ROI 甚至可以达到 10 倍以上(173)。评估建议建立评估体系建立科学、全面的 ROI 评估体系定期进行评估。多维度评估从技术、经济、社会等多个维度评估 AI 工具的价值。长期视角考虑 AI 工具的长期价值不要只看短期收益。对比分析与传统方法进行对比量化 AI 工具的优势。持续优化根据评估结果不断优化 AI 工具的使用策略。通过科学的 ROI 评估企业和研究机构可以更好地决策是否投资 AI 数学工具以及如何最大化投资回报。同时这也有助于制定更加合理的投资策略和发展规划。8. 结论与展望Erdos#1026 问题在 AI 辅助下仅用 48 小时被攻克这一历史性事件标志着数学研究进入了人机协作的新纪元。通过深入分析这一突破性案例我们看到了 AI 技术在推动科学发现方面的巨大潜力也为未来的研究方向指明了道路。从技术层面看Aristotle 和 AlphaEvolve 两个 AI 系统展示了不同但互补的技术路径。Aristotle 通过形式化证明提供了严格的逻辑验证AlphaEvolve 通过进化算法发现了隐藏的数学模式。两者的结合不仅解决了一个具体的数学问题更重要的是展示了 AI 在数学研究中的多元化应用可能。AI 不再是简单的计算工具而是能够理解数学概念、发现新规律、辅助证明的智能伙伴。从应用场景看AI 在数学研究中的价值已经远远超出了纯数学领域。在密码学、优化算法、机器学习理论等多个领域AI 都在发挥着越来越重要的作用。特别是在商业应用中AI 数学工具正在帮助企业解决复杂的实际问题创造巨大的经济价值。从发展前景看AI 数学研究正处于一个快速发展的黄金期。技术的不断进步、应用场景的持续拓展、投资的大量涌入都预示着这个领域的光明未来。人机协作将成为未来数学研究的主流模式人类的创造力与 AI 的计算力相结合必将产生更多突破性的成果。然而我们也必须清醒地认识到AI 在数学研究中仍面临诸多挑战。技术上的局限性、可靠性问题、伦理考量等都需要我们认真对待。只有通过持续的技术创新、完善的制度建设和广泛的国际合作才能确保 AI 在数学研究中的健康发展。对于技术专业人士和企业管理者我们建议积极拥抱变化主动了解和学习 AI 数学工具将其融入到自己的工作流程中。注重人才培养加强对跨学科人才的培养特别是既懂数学又懂 AI 的复合型人才。合理投资布局根据自身需求和能力选择合适的 AI 数学工具进行投资。开放合作创新积极参与行业合作共享资源和经验推动整个领域的发展。展望未来我们有理由相信在 AI 技术的推动下数学研究将迎来一个前所未有的繁荣时期。从解决古老的数学难题到发现全新的数学领域从推动基础科学进步到解决实际应用问题AI 都将发挥不可替代的作用。这不仅是数学的新纪元更是人类智慧与人工智能共同创造的新时代。让我们共同期待在不久的将来更多像 Erdos#1026 这样的数学难题被攻克更多未知的数学领域被发现数学这门古老而年轻的科学在 AI 的助力下绽放出更加绚烂的光彩。参考资料[1] 陶哲轩震撼数学家1975年埋下的「坑」被AI和全球网友用48小时填平了_36氪 http://m.toutiao.com/group/7583906090396434950/?upstream_bizdoubao[2] The story of Erdős problem #1026 https://vuink.com/post/greelgnb-d-djbeqcerff-d-dpbz/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126[3] Erdős Problem #1026 https://news.ycombinator.com/item?id46201769[4] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_bizdoubao[5] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/[6] AI助力陶哲轩48小时破解Erdős难题!_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964898756_122004016/[7] PAT乙级(简单模拟)1001、1011、1016、1026、1046、1012、1018_1001最简单模拟测试方法-CSDN博客 https://blog.csdn.net/JiangNan_1002/article/details/122608118[8] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了 https://user.guancha.cn/wap/content?id1564972[9] An old problem of Erdos: a graph without two cycles of the samme length(pdf) http://www.chinaxiv.org/user/view.htm?id54525filetypepdf[10] 数学推理与AI:机器学习系统能在多大程度上理解数学? - 智源社区 https://hub.baai.ac.cn/view/34460[11] Список математических утверждений и объектов, названных в честь Пала Эрдёша https://ru.wikipedia.org/?curid4385176[12] 保罗·埃尔德什 https://m.baike.com/wiki/%E4%BF%9D%E7%BD%97%C2%B7%E5%9F%83%E5%B0%94%E5%BE%B7%E4%BB%80/2667256?baike_sourcedoubao[13] 数学家——保罗· 厄尔多斯(1913─1996) https://worldscience.cn/c/1997-02-27/630889.shtml[14] Paul Erdos https://academickids.com/encyclopedia/index.php/Paul_Erdos/history[15] Paul Erdös https://www.ebsco.com/research-starters/history/paul-erdos[16] Paul Erdős https://www.britannica.com/biography/Paul-Erdos?bttrue[17] Paul Erdös https://www.encyclopedia.com/science/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/paul-erdos[18] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_bizdoubao[19] 陶哲轩震撼!数学家1975年埋下的坑被AI和全球网友48小时填平了_新智元 http://m.toutiao.com/group/7583903012196778531/?upstream_bizdoubao[20] An old problem of Erdos: a graph without two cycles of the samme length(pdf) http://www.chinaxiv.org/user/view.htm?id54525filetypepdf[21] The story of Erdős problem #1026 https://vuink.com/post/greelgnb-d-djbeqcerff-d-dpbz/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126[22] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了|ai数学|alice|定理|实数|数学家|陶哲轩_手机网易网 http://m.163.com/dy/article/KGP6LVAI0516EPQ9.html[23] “解密”:陶哲轩高徒撬动数十年难题这个华人研究生有点牛!-CSDN博客 https://blog.csdn.net/weixin_47196664/article/details/141042218[24] 十分钟出结果陶哲轩用Gemini Deepthink帮人类数学家完成Erdős问题论证_新浪财经 http://m.toutiao.com/group/7575776324480959030/?upstream_bizdoubao[25] 人类遗忘的难题解法被GPT-5重新找出来了_量子位 http://m.toutiao.com/group/7560904015836365346/?upstream_bizdoubao[26] About this Website https://mathweb.ucsd.edu/~erdosproblems/SiteDetails.html[27] tracking problems list: Erdős problems #172 https://github.com/google-deepmind/formal-conjectures/issues/172[28] AI独立解决三十年数学问题的变体陶哲轩分享自动化研究经验_机器之心Pro http://m.toutiao.com/group/7578710208470336036/?upstream_bizdoubao[29] AI攻克数学难题变体引关注 陶哲轩:自动化工具助力数学研究新突破_搜狐网 https://m.sohu.com/a/960365891_362225/[30] Data consistency between this project and erdosproblems.com #26 https://github.com/teorth/erdosproblems/issues/26[31] Non-repeated cycle lengths and Sidon sequences(pdf) http://staff.ustc.edu.cn/~jiema/sidon.pdf[32] An old problem of Erdos: a graph without two cycles of the samme length(pdf) http://www.chinaxiv.org/user/view.htm?id54525filetypepdf[33] On sequences of positive integers https://scite.ai/reports/on-sequences-of-positive-integers-aX1pk1b[34] The story of Erdős problem #1026 https://vuink.com/post/greelgnb-d-djbeqcerff-d-dpbz/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126[35] 陶哲轩震撼数学家1975年埋下的「坑」被AI和全球网友用48小时填平了_36氪 http://m.toutiao.com/group/7583906090396434950/?upstream_bizdoubao[36] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了_量子位 http://m.toutiao.com/group/7583342205201302016/?upstream_bizdoubao[37] Число Эрдёша https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%AD%D1%80%D0%B4%D1%91%D1%88%D0%B0[38] Число на Ердьош https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BD%D0%B0_%D0%95%D1%80%D0%B4%D1%8C%D0%BE%D1%88[39] Erdős-Zahl https://de.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s-Zahl[40] 函数的数学定义与三要素解析 https://www.iesdouyin.com/share/video/7558820764032519474/?regionmid7558820772379151156u_code0didMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQiidMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQwith_sec_did1video_share_track_vertitleTypetitleshare_signaOo6OdiCyo4nlKjz5fz9Cw0MNhut0KctJ.5beGZSvAo-share_version280700ts1765778733from_aid1128from_ssr1share_track_info%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D[41] An old problem of Erdos: a graph without two cycles of the samme length(pdf) http://www.chinaxiv.org/user/view.htm?id54525filetypepdf[42] Resolution of the Erd6s Sauer problem on regular subgraphs(pdf) https://www.math.ethz.ch/~sudakovb/regular-subgraphs-of-graphs.pdf[43] Extension de quelques theoremes sur les densites de series d’elements de n a des series de sous-ensembles finis de n https://dl.acm.org/doi/abs/10.1016/0012-365X(75)90073-4[44] Gowers:安德烈·塞迈雷迪的工作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/621216820_121124211/[45] On sequences of positive integers https://scite.ai/reports/on-sequences-of-positive-integers-aX1pk1b[46] Some Methods of Erdős Applied to Finite Arithmetic Progressions https://econpapers.repec.org/bookchap/sprsprchp/978-1-4614-7258-2_5f18.htm[47] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_bizdoubao[48] Гипотеза Эрдёша о числе различных расстояний https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0_%D0%AD%D1%80%D0%B4%D1%91%D1%88%D0%B0_%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9[49] 陶哲轩震撼数学家1975年埋下的「坑」被AI和全球网友用48小时填平了_36氪 http://m.toutiao.com/group/7583906090396434950/?upstream_bizdoubao[50] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/[51] The story of Erdős problem #1026 https://vuink.com/post/greelgnb-d-djbeqcerff-d-dpbz/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126[52] AI助力陶哲轩48小时破解Erdős难题!_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964898756_122004016/[53] AI技术新动向:GPT-5.2上线后的市场反响与未来展望_搜狐网 https://m.sohu.com/a/965143577_122066678/[54] On k -modal subsequences https://arxiv.org/html/2403.13686v1[55] A central limit theorem for repeating patterns https://arxiv.org/html/1204.2872v2[56] 陶哲轩弟子打造数学AI解决30年数学问题为何数学家们说不算数?_DeepTech深科技 http://m.toutiao.com/group/7578817732096655912/?upstream_bizdoubao[57] Harmonic https://www.sacra.com/c/harmonic/[58] Why Vlad Tenev and Tudor Achim of Harmonic Think AI Is About to Change Math—and Why It Matters https://www.sequoiacap.com/podcast/training-data-harmonic/[59] Harmonic Secures $120M to Advance Mathematical AI Vision https://startupwired.com/2025/12/02/harmonic-secures-120m-to-advance-mathematical-ai-vision-2/[60] We’ve Built An AI That’s Better Than Me At Math, And I Was A Math PhD Student: Robinhood CEO Vlad Tenev https://officechai.com/ai/weve-built-an-ai-thats-better-than-me-at-math-and-i-was-a-math-phd-student-robinhood-ceo-vlad-tenev/[61] aristotlelib 0.3.0 https://pypi.org/project/aristotlelib/[62] Robinhood CEO Vlad Tenev’s Math AI Startup Claims To Have Solved An Erdos Problem That Was Open For 30 Years https://officechai.com/ai/robinhood-ceo-vlad-tenevs-math-ai-startup-claims-to-have-solved-an-erdos-problem-that-was-open-for-30-years/[63] AlphaEvolve:陶哲轩背书的知识发现 AgentAI 正进入自我进化范式 | 人人都是产品经理 https://www.woshipm.com/share/6244781.html[64] How DeepMind Built AI That Evolves Itself [Breakdowns] https://artificialintelligencemadesimple.substack.com/p/how-deepmind-built-ai-that-evolves[65] AI as a research partner: Advancing theoretical computer science with AlphaEvolve https://research.google/blog/ai-as-a-research-partner-advancing-theoretical-computer-science-with-alphaevolve/[66] AlphaEvolve: AI Meets Algorithm Discovery https://www.educative.io/newsletter/artificial-intelligence/what-is-alphaevolve[67] The Algorithmic Frontier: Are Program Synthesis Models Like AlphaEvolve the Next Evolution for AI? https://www.alphanome.ai/post/the-algorithmic-frontier-are-program-synthesis-models-like-alphaevolve-the-next-evolution-for-ai[68] AlphaEvolveとはGoogle DeepMind発、アルゴリズム発見AIの全貌を徹底解説 https://www.ai-souken.com/article/what-is-alphaevolve[69] AlphaEvolve on Google Cloud: AI for agentic discovery and optimization https://cloud.google.com/blog/products/ai-machine-learning/alphaevolve-on-google-cloud[70] 陶哲轩用AI爆改科研范式_新智元 http://m.toutiao.com/group/7569181154473968166/?upstream_bizdoubao[71] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了-51CTO.COM https://www.51cto.com/article/831896.html[72] 陶哲轩联手AI挑战经典ε-δ极限加法秒杀、乘法翻车_36氪 http://m.toutiao.com/group/7507119099361624591/?upstream_bizdoubao[73] 陶哲轩亲测:我用Gemini十分钟搞定了困扰学界多年的难题 - 智源社区 https://hub.baai.ac.cn/view/50653[74] 震撼!数学家1975年埋下的「坑」被AI与全球网友48小时填平 | 陶哲轩关注 https://eu.36kr.com/zh/p/3596176018898947[75] 陶哲轩用GPT5-Pro跨界挑战3年无解的难题11分钟出完整证明_36氪 http://m.toutiao.com/group/7559893001103852042/?upstream_bizdoubao[76] 陶哲轩用AI爆改科研范式_新智元 http://m.toutiao.com/group/7569181154473968166/?upstream_bizdoubao[77] 奇点临近?谷歌Gemin联手陶哲轩10分钟解决百年数学难题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7576198686137418266/?upstream_bizdoubao[78] [Terence Tao访谈] 概述 | 10%的问题 | 制造爆炸 | 生命游戏是一个离散方程-CSDN博客 https://blog.csdn.net/2301_80171004/article/details/148868238[79] 陶哲轩晒出调教GPT-4聊天记录点击领取大佬的研究助理!-CSDN博客 https://blog.csdn.net/amusi1994/article/details/131388799[80] 陶哲轩震撼!数学家1975年埋下的坑被ai和全球网友48小时填平了 http://m.toutiao.com/group/7583903012196778531/?upstream_bizdoubao[81] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_bizdoubao[82] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/[83] AI 与 全球 数学家 协同 作战 48 小时 攻克 50 年 数学 难题 一 道 由 传奇 数学家 保罗 · 埃尔德什 于 1975 年 提出 的 数学 难题 在 沉寂 半个 世纪 后 于 2025 年末 被 迅速 破解 。 在 人工 智能 工具 的 辅助 下 一个 由 全球 数学 爱好者 与 专家 组成 的 协作 网络 仅 用 时 48 小时 便 完成 了 问题 的 精确 形式化 与 最终 证明 展现 了 “ AI 人类 ” 协作 研究 新 范式 的 巨大 潜力 。该 问题 编号 为 埃尔德什 # 1026 最初 表述 较为 模糊 涉及 实数 序列 中单 调子 序列 的 最大 可能 和 。 经 网友 转化 为 一个 生动 的 “ 硬币 分 堆 ” 游戏 后 问题 的 核心 被 清晰 界定 即 确定 对手 无论如何 分配 都 能 确保 获取 的 硬币 总数 比例 下限 c ( n ) 。今年 9月 网友 在 探讨 中 针对 n 为 平方数 的 情况 提出 了 一个 关键 猜想 。 12 月 7日 研究 人员 借助 AI 证明 辅助 工具 Aristotle 在 Lean 中 自动 验证 了 该 猜想 。 几乎 同时 另一 位 参与者 给出 了 简洁 的 “ 膨胀 法 ” 人工 证明 。 随后 数学家 陶哲轩 使用 另一 AI 系统 Alpha Evolve 进行 探索 与 合作者 共同 发现 了 c ( n ) 的 一般 公式 并 揭示 了 该 问题 与 经典 “ 正方形 填充 ” 问题 埃尔德什 问题 106 的 深刻 等价 关系 。 最终 通过 AI 辅助 的 文献 检索 团队 找到 了 2024 年 的 一篇 关键 论文 其 结论 完美 补 全 了 证明 的 最后 一块 拼图 。陶哲轩 对此 深感 震撼 他 强 调 正是 分散 的 贡献者 、 多样化 的 工具 与 开放 的 协作 环境 使得 从 问题 重述 、 猜想 形成 、 公式 发现 到 与 既有 数学 成果 连接 的 所有 关键 环节 在 短短 两天 内 高效 汇聚 。 若 依赖 传统 单人 研究 模式 此 过程 可能 长达 数 周 甚至 数月 。 此次 成功 不仅 是 解决 了 一个 历史 遗留 问题 更 可能 标志 着 数学 研究 方式 进入 了 一个 人机 协同 、 全球 实时 协作 的 新时代 。https : / / terry tao . wordpress . com / 2025 / 12 / 08 / the - story - of - erdos - problem - 126 / https://www.iesdouyin.com/share/video/7583408101986929974/?regionmid7583407689774959423u_code0didMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQiidMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQwith_sec_did1video_share_track_vertitleTypetitleshare_signxmB_tjhzfcwKDk3_Tqp9oFCSefvGMxypEJ66W0JnwFw-share_version280700ts1765778889from_aid1128from_ssr1share_track_info%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D[84] AI助力陶哲轩48小时破解Erdős难题!_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964898756_122004016/[85] 【圆桌对话回顾】跨界共治:全球专家深度探讨人工智能风险、治理与协作路径 - 智源社区 https://hub.baai.ac.cn/view/47962[86] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了_量子位 http://m.toutiao.com/group/7583342205201302016/?upstream_bizdoubao[87] Planet Musings https://golem.ph.utexas.edu/~distler/planet/[88] Erdős Problems https://www.erdosproblems.com/[89] 陶哲轩震撼数学家1975年埋下的「坑」被AI和全球网友用48小时填平了_36氪 http://m.toutiao.com/group/7583906090396434950/?upstream_bizdoubao[90] Erdős Problem 106: pack squares inside square #337 https://github.com/google-deepmind/formal-conjectures/issues/337[91] Title:Packing, Hitting, and Colouring Squares https://arxiv.org/pdf/2206.02185[92] 陶哲轩震撼数学家1975年埋下的「坑」被AI和全球网友用48小时填平了_36氪 http://m.toutiao.com/group/7583906090396434950/?upstream_bizdoubao[93] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_bizdoubao[94] AI 与 全球 数学家 协同 作战 48 小时 攻克 50 年 数学 难题 一 道 由 传奇 数学家 保罗 · 埃尔德什 于 1975 年 提出 的 数学 难题 在 沉寂 半个 世纪 后 于 2025 年末 被 迅速 破解 。 在 人工 智能 工具 的 辅助 下 一个 由 全球 数学 爱好者 与 专家 组成 的 协作 网络 仅 用 时 48 小时 便 完成 了 问题 的 精确 形式化 与 最终 证明 展现 了 “ AI 人类 ” 协作 研究 新 范式 的 巨大 潜力 。该 问题 编号 为 埃尔德什 # 1026 最初 表述 较为 模糊 涉及 实数 序列 中单 调子 序列 的 最大 可能 和 。 经 网友 转化 为 一个 生动 的 “ 硬币 分 堆 ” 游戏 后 问题 的 核心 被 清晰 界定 即 确定 对手 无论如何 分配 都 能 确保 获取 的 硬币 总数 比例 下限 c ( n ) 。今年 9月 网友 在 探讨 中 针对 n 为 平方数 的 情况 提出 了 一个 关键 猜想 。 12 月 7日 研究 人员 借助 AI 证明 辅助 工具 Aristotle 在 Lean 中 自动 验证 了 该 猜想 。 几乎 同时 另一 位 参与者 给出 了 简洁 的 “ 膨胀 法 ” 人工 证明 。 随后 数学家 陶哲轩 使用 另一 AI 系统 Alpha Evolve 进行 探索 与 合作者 共同 发现 了 c ( n ) 的 一般 公式 并 揭示 了 该 问题 与 经典 “ 正方形 填充 ” 问题 埃尔德什 问题 106 的 深刻 等价 关系 。 最终 通过 AI 辅助 的 文献 检索 团队 找到 了 2024 年 的 一篇 关键 论文 其 结论 完美 补 全 了 证明 的 最后 一块 拼图 。陶哲轩 对此 深感 震撼 他 强 调 正是 分散 的 贡献者 、 多样化 的 工具 与 开放 的 协作 环境 使得 从 问题 重述 、 猜想 形成 、 公式 发现 到 与 既有 数学 成果 连接 的 所有 关键 环节 在 短短 两天 内 高效 汇聚 。 若 依赖 传统 单人 研究 模式 此 过程 可能 长达 数 周 甚至 数月 。 此次 成功 不仅 是 解决 了 一个 历史 遗留 问题 更 可能 标志 着 数学 研究 方式 进入 了 一个 人机 协同 、 全球 实时 协作 的 新时代 。https : / / terry tao . wordpress . com / 2025 / 12 / 08 / the - story - of - erdos - problem - 126 / https://www.iesdouyin.com/share/video/7583408101986929974/?regionmid7583407689774959423u_code0didMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQiidMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQwith_sec_did1video_share_track_vertitleTypetitleshare_signxmB_tjhzfcwKDk3_Tqp9oFCSefvGMxypEJ66W0JnwFw-share_version280700ts1765778906from_aid1128from_ssr1share_track_info%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D[95] AI助力陶哲轩48小时破解Erdős难题!_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964898756_122004016/[96] Эрдёш, Пал https://wiki2.org/ru/%D0%AD%D1%80%D0%B4%D1%91%D1%88,_%D0%9F%D0%B0%D0%BB[97] 腾讯研究院AI速递 20251215_搜狐网 https://m.sohu.com/a/965142266_455313/[98] News https://en.ncsti.gov.cn/Latest/news/202406/t20240619_168530.html[99] Teaching AI to Reason Like Humans Through Math Proofs https://www.visive.ai/news/teaching-ai-to-reason-like-humans-through-math-proofs[100] At Secret Math Meeting, Researchers Struggle to Outsmart AI https://www.scientificamerican.com/article/inside-the-secret-meeting-where-mathematicians-struggled-to-outsmart-ai/[101] Google DeepMind and Google.org announce AI for Math Initiative https://bardai.ai/2025/12/04/google-deepmind-and-google-org-announce-ai-for-math-initiative/[102] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/[103] AI 解 难题 取代 数学家 # AI https://www.iesdouyin.com/share/video/7576585681889536622/?regionmid7576585597545040646u_code0didMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQiidMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQwith_sec_did1video_share_track_vertitleTypetitleshare_sign7MxZEkXjermr8lR1tBYqP2qwPBJVqXfCxCwH0r3BiFg-share_version280700ts1765778906from_aid1128from_ssr1share_track_info%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D[104] 陶哲轩震撼!数学家1975年埋下的「坑」被AI和全球网友用48小时填平了_新浪财经 http://m.toutiao.com/group/7583327290839581238/?upstream_bizdoubao[105] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_bizdoubao[106] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964897856_121207965/[107] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/[108] The Future of Mathematical Discovery: Code, Creativity, and the Rise of AI https://magazine.mindplex.ai/post/the-future-of-mathematical-discovery-code-creativity-and-the-rise-of-ai[109] A New Kind of Scientist: AI Is Starting to Make Real Discoveries https://hackernoon.com/a-new-kind-of-scientist-ai-is-starting-to-make-real-discoveries[110] AI’s Paradoxical Path to New Math: To Find Better Answers, It Needs Less Data and a “Dumber” Brain https://hackernoon.com/ais-paradoxical-path-to-new-math-to-find-better-answers-it-needs-less-data-and-a-dumber-brain[111] AI in Problem Solving: DeepMind OpenAI Break New Ground https://www.aicerts.ai/news/ai-in-problem-solving-deepmind-openai-break-new-ground/[112] Mathematics and Machine Creativity: A Survey on Bridging Mathematics with AI https://arxiv.org/html/2412.16543v2/[113] Neuro-Symbolic AI for Analytical Solutions of Differential Equations https://arxiv.org/html/2502.01476v2[114] 陶哲轩力推AlphaEvolve:解决67个不同数学问题多个难题中超越人类最优解-36氪 https://m.36kr.com/p/3542664198140036[115] 人工智能与数学双向奔赴 http://paper.chinahightech.com/pad/content/202508/11/content_155063.html[116] Math AI Tomorrow’s breakthroughs https://www.darpa.mil/news/2025/math-ai-tomorrows-breakthroughs[117] How AI is Transforming Math: The Rise of Automated Theorem Proving https://theaiinnovator.com/how-ai-is-transforming-math-the-rise-of-automated-theorem-proving/[118] How Math Reveals the Bleeding Edge of AI https://www.pnnl.gov/news-media/how-math-reveals-bleeding-edge-ai[119] Maths and machine learning https://mathematical-research-institute.sydney.edu.au/news/maths-and-machine-learning/[120] AI Math: Terence Tao on the Future of Mathematical Research https://www.toolify.ai/ai-news/ai-math-terence-tao-on-the-future-of-mathematical-research-3789971[121] The Future of Mathematical Discovery: Code, Creativity, and the Rise of AI https://magazine.mindplex.ai/post/the-future-of-mathematical-discovery-code-creativity-and-the-rise-of-ai[122] 模运算在人工智能加密算法中的应用-洞察及研究.docx - 人人文库 https://m.renrendoc.com/paper/497024353.html[123] 从矩阵运算到深度学习Python实战解析AI数学核心附代码模板数据集一、数学是AI的基石 人工智能(AI)的快速发展离 - 掘金 https://juejin.cn/post/7526786618159104019[124] 6、AI赋能密码学:从基础到应用的全面解析-CSDN博客 https://blog.csdn.net/grafana6viz/article/details/151742937[125] 慕ke 深入AI/大模型必修数学体系—从线性代数到信息论的全栈解析 在人工智能(AI)与大模型(Large Langu - 掘金 https://juejin.cn/post/7525649329585356836[126] 网络安全和人工智能需要的数学领域_网络安全涉及的数学知识-CSDN博客 https://blog.csdn.net/cocofu/article/details/143087252[127] 数学与人工智能技术的深度融合-洞察阐释.docx - 人人文库 https://m.renrendoc.com/paper/438142820.html[128] 数学在人工智能领域的应用-洞察及研究 - 豆丁网 https://www.docin.com/touch_new/preview_new.do?id4890522420[129] Decoding the $1.45B Valuation of Harmonic: A Breakthrough in AI Accuracy and Commercial Potential https://www.ainvest.com/news/decoding-1-45b-valuation-harmonic-breakthrough-ai-accuracy-commercial-potential-2511/[130] 斯坦福中国学霸开挂创业:AI解数学难题0产品目标估值3亿美元_智东西 http://m.toutiao.com/group/7512079685979800101/?upstream_bizdoubao[131] Harmonic AI raises $120M at $1.45B valuation to advance mathematical reasoning https://siliconangle.com/2025/11/25/harmonic-ai-raises-120m-1-45b-valuation-advance-mathematical-reasoning/[132] Math Calculation Software Market https://dataintelo.com/report/math-calculation-software-market[133] AI Algorithms Market Intelligent Systems: B2B Use Cases and Neural Network Innovations https://www.marketsandmarkets.com/blog/ICT/neural-networks-ai-algorithms-intelligent-systems-market-use-cases[134] Mathematics Software Market (By Application: (Educational, Research, Commercial), By Deployment: (Cloud-Based, On-Premise), By End-User) - Global Market Size, Share, Growth, Trends, Statistics Analysis Report, By Region, And Forecast 2025-2033 https://www.datahorizzonresearch.com/mathematics-software-market-39443[135] Tamanho do mercado de IA, participação, crescimento e análise de mercado por tipo (aprendizado de máquina, processamento de linguagem natural, visão computacional, robótica, software de IA), por aplicação (saúde, finanças, varejo, fabricação, educação, automotivo) e previsão regional para 2033 https://www.proficientmarketinsights.com/pt/market-reports/ai-market-2886[136] AI赋能数学研究|代数|图论|定理|数学研究|算法|黎曼_手机网易网 http://m.163.com/dy/article/KGIPDG0K0516DOTJ.html[137] Formal Mathematical Reasoning: A New Frontier in AI https://arxiv.org/html/2412.16075[138] 数学智能五大方向的五维可行性论证.docx - 人人文库 https://www.renrendoc.com/paper/495544960.html[139] IA y matemáticas: cuáles son los 3 avances que podrían transformar la forma en que pensamos https://www.infobae.com/america/ciencia-america/2025/06/05/ia-y-matematicas-cuales-son-los-3-avances-que-podrian-transformar-la-forma-en-que-pensamos/[140] Teaching LLMs to think: Xian Zhang on advancing mathematical reasoning in AI https://www.microsoft.com/en-us/research/articles/teaching-llms-to-think-xian-zhang-on-advancing-mathematical-reasoning-in-ai/[141] A conversation with Lars Ruthotto: Bridging AI, math and the physical sciences https://news.emory.edu/stories/2025/10/er_ai_and_mps_qa_10-16-2025/story.html[142] ChatGPT’s Stunning Mathematical Discovery https://github.com/toshon-jennings/samo-wiki/wiki/ChatGPT%E2%80%99s-Stunning-Mathematical-Discovery[143] 人工智能在数学中的应用(第七篇):数学的未来——人机共生的新范式_wx62088446a1f70的技术博客_51CTO博客 https://blog.51cto.com/u_15511034/14191484[144] 人工智能为数学家找到“巨人的肩膀”——解码“AI科研”系列报道之二 http://www.stdaily.com/web/gdxw/2025-08/25/content_389864.html[145] 陶哲轩惊呼“变天”AI用6小时改写数学史 https://c.m.163.com/news/a/KFU4CIAR0550W16F.html[146] AI成为数学家得力助手还要多久–经济·科技–人民网 http://finance.people.com.cn/BIG5/n1/2025/0617/c1004-40502346.html[147] 北大AI4M团队推进数学数字化与智能化双向赋能 https://www.iesdouyin.com/share/video/7501971562598436096/?regionmid7501971944590428940u_code0didMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQiidMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQwith_sec_did1video_share_track_vertitleTypetitleshare_signGkB2g6jWwE.D5LJ3X2TsxcG9YtJQR6yorMUthlZwIkw-share_version280700ts1765778938from_aid1128from_ssr1share_track_info%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D[148] 人工智能与数学双向奔赴 http://paper.chinahightech.com/pad/content/202508/11/content_155063.html[149] AI for Science 能走多远?— 从多元智能与数学难题看AI的科学潜能-腾讯云开发者社区-腾讯云 https://cloud.tencent.com.cn/developer/article/2570685[150] 人工智能在数学中的应用(终极篇):心智的延伸——AI与数学共塑人类认知的未来_wx62088446a1f70的技术博客_51CTO博客 https://blog.51cto.com/u_15511034/14194729[151] The Future of Math with o1 Reasoning https://forum.openai.com/public/videos/the-future-of-math-with-o1-reasoning-2024[152] Creative Collaboration with AI: Insights from Hugo Duminil-Copin on Mathematics and Discovery https://blog.mathieuacher.com/AIScientificThinkingHugoDuminilCopin/[153] Title:The Mathematician’s Assistant: Integrating AI into Research Practice https://www.arxiv.org/pdf/2508.20236[154] Google DeepMind and Google.org announce AI for Math Initiative https://newszone.arammon.com/google-deepmind-and-google-org-announce-ai-for-math-initiative/[155] MA-LoT: Model-Collaboration Lean-based Long Chain-of-Thought Reasoning enhances Formal Theorem Proving https://icml.cc/virtual/2025/poster/46138[156] AI Mathematician: Towards Fully Automated Frontier Mathematical Research https://arxiv.org/html/2505.22451v1[157] 5年AI应用架构师经验:AI驱动数学研究的方法论与最佳工具-CSDN博客 https://blog.csdn.net/2501_91483145/article/details/150073674[158] AI 기반 수학 문제 해결 도구: 수학 학습 혁신 가이드 https://www.toolify.ai/ko/ai-news-kr/ai-3873491[159] 2025년 11월 최고의 AI 수학 도구 9가지 https://www.unite.ai/ko/best-ai-for-math-tools/[160] Best Math AI Apps of 2025: My Top Picks https://tutorai.me/blog/best-math-ai-apps/[161] Best AI Tools For Mathematicians in 2025 https://www.toolify.ai/jobs/mathematicians-221[162] The Best Math Tool Better Than ChatGPT Math Solver in 2025 https://notegpt.io/blog/the-best-math-tool-better-than-chatgpt-math-solver-in-2025[163] Best AI for Maths in 2025 – Solvers, Calculators Apps https://promptaitools.com/best-ai-for-maths/[164] 【师说AI】数学老师必备的 18 款 AI 工具-学科网 https://m.zxxk.com/article/1036967.html[165] 2025 年七大 AI 数学工具排行榜:轻松解决复杂数学问题 https://powerdrill.ai/zh/blog/top-ai-math-tools-to-solve-complex-math-problems[166] 2025年国内数学AI大模型API排名:混元大模型、DeepSeek、通义千问一、2025年国内数学大模型排名 1. 九 - 掘金 https://juejin.cn/post/7514537797954469903[167] 【2025】9 款 AI 数学解题助手推荐为你解答数学难题、提升数学能力 - https://baozang.io/3337[168] AI技术助力高中数学高效提分系统方案 https://www.iesdouyin.com/share/video/7473736121634065724/?regionmid7473735665868360482u_code0didMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQiidMS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQwith_sec_did1video_share_track_vertitleTypetitleshare_signakvIxUANtzOFPdLwcJUyuLa8cFUQP6K6gtDdDt_bxd0-share_version280700ts1765778965from_aid1128from_ssr1share_track_info%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D[169] AI应用架构师强推!提升数学研究效率的10个AI工具方法论-CSDN博客 https://blog.csdn.net/sjsndy/article/details/151688899[170] 8 款出色的 AI 数学工具 – Edu指南 http://zxjyzn.com/8-%E6%AC%BE%E5%87%BA%E8%89%B2%E7%9A%84-ai-%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B7%A5%E5%85%B7/[171] AI架构师必备:投资回报分析的机器学习实战_预期回报与机器学习-CSDN博客 https://blog.csdn.net/2502_91678797/article/details/149783693[172] The ROI Calculation Framework https://fourweekmba.com/the-roi-calculation-framework/[173] Como a MATH AI Platform garante a mensuração do ROI em projetos de IA https://pt.linkedin.com/pulse/como-math-ai-platform-garante-mensura%C3%A7%C3%A3o-do-roi-em-de-ghiraldini-sx0ef?trkarticle-ssr-frontend-pulse_more-articles_related-content-card[174] Predictive ROI Analysis https://www.kognition.info/ai_use_cases/predictive-roi-analysis/[175] Measuring Generative AI ROI https://www.goml.io/measuring-generative-ai-roi/[176] A Framework for Calculating ROI for Agentic AI Apps https://techcommunity.microsoft.com/blog/machinelearningblog/a-framework-for-calculating-roi-for-agentic-ai-apps/4369169[177] AI ROI Strategy 2025: From $50M Investment to Measurable Returns https://axis-intelligence.com/ai-roi-strategy-2025-ultimate-guide/注文档部分内容可能由 AI 生成